Desafío matemático de El País (22)

DESAFÍO MATEMÁTICO (22)

Antonio Mora Plaza

        El problema 22 trata de unir mediante segmentos los vértices de un dodecágono de tal forma que ningún segmento toque más de una vez los vértices de esa figura geométrica. Vemos en el ejemplo del periódico que cuanto tenemos un cuadrado (4 vértices) sólo hay 2 segmentos que pueden trazarse sin que ningún vértice se utilizado más de una vez. En el octógono del ejemplo (8vértices) sólo se pueden trazar 4 segmentos que cumplan los requisitos del problema. En el problema se puede enumerar los 12 vértices del 1 al 12 y el problema se convierte en cómo hallar las diferencias 2 a 2 de estos números (del 1 al 12) de tal forma que se cumplan los siguientes requisitos: a) que ningún número se repita ni en el minuendo ni en el sustraendo, b) que las diferencias de los números hallados en a) tampoco se repitan. La mejor forma de ver esto es mediante este cuadro de doble entrada:

	1	2	3	4	5	6
12	11
11		9
10			7
9				5
8					3
7						1

En este cuadro las únicas diferencias que cumplen los requisitos de a) y b) son las diferencias entre filas y columnas (que representan los 12 vértices), de tal forma que los 6 segmentes son los siguientes:

		tamaño del
vértices		segmento
1 al 12		11
2 al 11		9
3 al 10		7
4 al 9		5
5 al 8		3
6 al 7		1

Este planteamiento nos da una solución general que puede establecerse como que el número de segmentos que se pueden trazar en un polígono de 2n lados (y, por tanto, 2n vértices) de tal forma que nunca se utilice un vértice en el trazo de cualquier segmento más de una vez es igual a n. Si el polígono tiene un número impar de lados tal como 2n+1, cabe conjeturar que el número de segmentos que cumplan los requisitos del problema será también n, con lo que uno de los vértices quedará sin asignar a ningún segmento.

                   Madrid, 6 de agosto de 2011.